БУТЫЛКА КЛЕЙНА

Феликс Христиан Клейн – немецкий математик. Родился Феликс в апреле месяце 25 числа в 1849 году, в семье чиновника, в Дюссельдорфе.
Феликс хотел стать физиком. Отделением математики и физики в университете заведовал Юлиус Плюккер, Клейн стал его ассистентом. Плюккер увлекался геометрией. Но в мае 1868 года Плюккер неожиданно умер, Клейн остался без руководителя и без темы для диссертации. Клейн сам поставил себе задачу по геометрии и защитил докторскую диссертацию в Бонне.
Следующий руководитель Клейна был тоже математик -  Альфред Клебша.
В 1872 году Клейн становится профессором Эрлангенского университета, по рекомендации Клебша. Упор Клейн делал на необходимость показать студентам единство науки. «Математические знания должны сопровождаться не только естественнонаучными, но и гуманитарными сведениями, чтобы у слушателей создавалась общая, многокрасочная картина мира»
1875 год Клейн – профессор Высшей технической школы в Мюнхене.
1876 год – главный редактор журнала "Mathematische Annalen".
Феликс организовал в Мюнхене «Математический кружок».
1880 год – Феликс Клейн переходит в Лейпцигский университет.
В 1888 году он занял должность профессора Гёттингенского университета, где работал до конца своей жизни.
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии. Точнее говоря, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.
Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, хранящихся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переноса и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, так как круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это еще до того, как родилась топология).
Клейн сказал все эти идеи в выступлении 1872 "Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen" ("Сравнительный рассмотрение новых геометрических исследований"), получивший название "Эрлангенского программы". Она привлекла внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление и предмет геометрии, но и намечает ясную перспективу дальнейших исследований.
На новом уровне повторилось открытия Декарта : алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых инструментов крайне тяжелые или вовсе недостижимы.
Влияние "Эрлангенского программы" на дальнейшее развитие геометрии был чрезвычайно велик.
В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории многогранников и эллиптических функций.
Одним из важнейших его достижений стало первое доведение непротиворечивости геометрии Лобачевского, для этого он построил ее интерпретацию в евклидовом пространстве. Он построил пример односторонней поверхности - "Бутылку Клейна".
Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интеграции дифференциальных уравнений, о абелевы функции, о Неевклидовы геометрии. Его труды печатались главным образом в "Mathematische Annalen".
Позже он исследовал теорию волчка.
Лекции Клейна пользовались большой популярностью, многие из них были неоднократно переизданы и переведены на многие языки.
Еще при жизни Клейна вышел трехтомник его Собрание сочинений.